Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí A và B cách nhau 4 km. Một nhà máy cung cấp nước được đặt ở vị trí C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB
23/25
Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí \(A\) và \(B\) cách nhau \[4\,{\rm{km}}\]. Một nhà máy cung cấp nước được đặt ở vị trí \(C\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\), cách trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\) một khoảng \[4\,{\rm{km}}\]. Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ nhà máy nước \(C\) đến một vị trí \[I\] nằm giữa đoạn thẳng \(MC\) sau đó chia ra hai nhánh dẫn tới hai nhà máy \(A\) và \(B\) (hình vẽ). Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu kilômét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đáp án: _____
Đặt độ dài \(IM = x\,\,\left( {{\rm{km}},\,0 \le x \le 4} \right)\), suy ra \(IC = 4 - x\).
Ta có: \(IA = IB = \sqrt {{x^2} + 4} \).
Tổng độ dài đoạn ống dẫn nước là: \(IC + IA + IB = 4 - x + 2\sqrt {{x^2} + 4} \).
Xét hàm số: \(y = f\left( x \right) = 4 - x + 2\sqrt {{x^2} + 4} \) với \(0 \le x \le 4\), ta cần tìm \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right)\].
Ta có \[y' = - 1 + 2 \cdot \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} = \frac{{2x - \sqrt {{x^2} + 4} }}{{\sqrt {{x^2} + 4} }}\]; \[y' = 0 \Leftrightarrow 2x - \sqrt {{x^2} + 4} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\].
Ta có \[f\left( 0 \right) = 8;\,\,f\left( {\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right) = 4 + 2\sqrt 3 ;\,\,f\left( 4 \right) = 4\sqrt 5 \]. Do đó, \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = 4\sqrt 3 + 2 \approx 7,46\] (km).
Đáp án: 7,46