Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Gọi M là trung điểm của OO’

a)

Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC, AD.

Suy ra OE ⊥ AC và AE = CE; O’F ⊥ AD và AF = DF.

Mà MA ⊥ CD (giả thiết).

Do đó OE // MA // O’F.

Khi đó tứ giác OO’FE là hình thang.

Hình thang OO’FE có MA // OE // O’F và M là trung điểm của OO’.

Suy ra MA là đường trung bình của hình thang OO’FE.

Do đó AE = AF.

Vì vậy 2AE = 2AF.

Vậy AC = AD (điều phải chứng minh).

b)

i) Gọi I là giao điểm của EG và FH.

Đường tròn (O) có AE là đường kính.

Suy ra AG ⊥ GE và AB ⊥ BE.

Đường tròn (O’) có AF là đường kính.

Suy ra AH ⊥ FH và AB ⊥ BF.

Ta có AB ⊥ BE (chứng minh trên) và AB ⊥ BF (chứng minh trên).

Suy ra ba điểm E, B, F thẳng hàng.

Do đó AB ⊥ EF.

Tam giác IEF có hai đường cao EH và FG cắt nhau tại A.

Suy ra A là trực tâm của tam giác IEF.

Mà AB ⊥ EF (chứng minh trên).

Do đó ba điểm I, A, B thẳng hàng.

Vậy AB, EG, FH đồng quy tại I.

ii) Kẻ OP ⊥ CD và O’Q ⊥ CD.

Suy ra P, Q lần lượt là trung điểm của AC, AD và OP // O’Q.

Khi đó AC = 2AP và AD = 2AQ.

Suy ra AC + AD = 2AP + 2AQ.

Vì vậy CD = 2PQ.

Do đó CD lớn nhất khi và chỉ khi PQ lớn nhất.

Ta có tứ giác OO’QP là hình thang vuông tại P, Q (vì OP // O’Q và OP ⊥ PQ).

Suy ra PQ ≤ OO’.

Dấu “=” xảy ra ⇔ OO’QP là hình chữ nhật.

⇔ PQ // OO’.

⇔ CD // OO’.

Vậy CD // OO’ thì CD có độ dài lớn nhất.