Hai điểm dân cư nằm về hai phía của một con sông rộng. Người ta muốn xây cầu qua sông
1/5
Hai điểm dân cư nằm về hai phía của một con sông rộng. Người ta muốn xây cầu qua sông (vuông góc với bờ sông) và làm đường nối hai khu dân cư qua chiếc cầu. Phải đặt vị trí cầu ở đâu, để quãng đường giữa hai điểm dân cư là nhỏ nhất (hình vẽ)?
Giả sử nếu con sông rất đẹp, hẹp đến mức hai bờ sông a và b trùng nhau. Di chuyển điểm M, ta tìm được vị trí của M là giao điểm của bờ sông a và đoạn AB (Ta đã biết đây là bài toán quen thuộc: MA+MB≥AB⇒MA+MB ngắn nhất khi M là giao điểm của a và đoạn thẳng AB).
Từ đó ta cần tìm cách đưa ví dụ 1 về bài toán này. Ta làm như sau:
Dựng hình bình hành AMNA': Ta có AM=A'N.
Vậy AM+MN+NB=AA'+A'N+NB. Do AA' không đổi, nên A'N+NB nhỏ nhất khi N là giao điểm của A'B và bờ sông.
Cách dựng M, N:
-Dựng A' sao cho AMNA' là hình bình hành
- Dựng N là giao điểm của A'B và b.
-Dựng M sao cho NM vuông góc với bờ sông a (M∈a).
- M, N là các vị trí cần tìm.