Hai chiếc máy bay không người lái cùng bay lên từ một địa điểm. Sau một giờ bay, chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát về phía bắc 23 km

Với hệ trục tọa độ được chọn, máy bay thứ nhất có tọa độ \(A\left( {23;18;2} \right)\) và máy bay thứ hai có tọa độ \(B\left( { - 22; - 27;3} \right)\).

Gọi \(M\) là vị trí mục tiêu. Vì mục tiêu di động trên mặt đất, nghĩa là \(M \in \left( {Oxy} \right)\) nên tọa độ của \(M\) có dạng \(M\left( {a;b;0} \right)\).

Ta cần tìm tọa độ của \(M\) để \(MA + MB\) nhỏ nhất.

Ta thấy \(A,B\) nằm cùng phía đối với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Gọi \(B'\left( { - 22; - 27; - 3} \right)\) là điểm đối xứng của \(B\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right) \Rightarrow MB = MB'\).

Có \(MA + MB = MA + MB' \ge AB'\).

Khi đó \(MA + MB\) nhỏ nhất bằng \(AB'\) khi \(M\) là giao điểm của \(AB'\) với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) nghĩa là lúc này ba điểm \(A,M,B'\) thẳng hàng.

Có \(\overrightarrow {AM} = \left( {a - 23;b - 18; - 2} \right),\overrightarrow {AB'} = \left( { - 45; - 45; - 5} \right)\) mà ba điểm \(A,M,B'\) thẳng hàng.

Suy ra \(\frac{{a - 23}}{{ - 45}} = \frac{{b - 18}}{{ - 45}} = \frac{{ - 2}}{{ - 5}} = \frac{2}{5} \Rightarrow a = 5;b = 0 \Rightarrow M\left( {5;0;0} \right)\).

Lúc đó độ dài đoạn OM là khoảng cách từ mục tiêu đến điểm xuất phát của hai máy bay và \(OM = 5\left( {{\rm{km}}} \right)\).

Đáp án: 5.