Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 2,5 km về phía nam và 2 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,8 km.

Hướng dẫn:

Đáp án: 9

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của khinh khí cầu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía nam, trục Oy hướng về phía đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét.

Chiếc khinh khí cầu thứ nhất và thứ hai ở vị trí A, B.

Ta có \(A\left( {\frac{5}{2};2;\frac{4}{5}} \right)\) và \(B\left( {\frac{{ - 3}}{2}; - 3;\frac{3}{5}} \right)\).

Gọi I là điểm tiếp nhiên liệu trên mặt đất (Oxy).

Khoảng cách từ vị trí tiếp nhiên liệu tới hai khinh khí cầu nhỏ nhất, tức IA + IB nhỏ nhất.

Gọi C là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (Oxy), \(C\left( {\frac{5}{2};2;\frac{{ - 4}}{5}} \right)\) và IA = IC.

Vậy để IA + IB nhỏ nhất thì IB + IC nhỏ nhất. Điều đó xảy ra khi B, I, C thẳng hàng hay I là giao điểm của BC và mặt phẳng (Oxy) hay \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {BI} \) cùng phương.

\(\overrightarrow {BC} = \left( {4;5;\frac{{ - 7}}{5}} \right)\). I ∈ (Oxy) ⇒ I(x; y; 0) ⇒ \(\overrightarrow {BI} = \left( {x + \frac{3}{2};y + 3;\frac{{ - 3}}{5}} \right)\).

\(\overrightarrow {BC} \), \(\overrightarrow {BI} \) cùng phương nên \(\frac{{x + \frac{3}{2}}}{4} = \frac{{y + 3}}{5} = \frac{3}{7} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{3}{{14}}}\\{y = \frac{{ - 6}}{7}}\end{array}} \right.\).

Vậy \(I\left( {\frac{3}{{14}};\frac{{ - 6}}{7};0} \right)\) nên \(a = \frac{3}{{14}}\), \(b = \frac{6}{7}\) ( vì I cách điểm xuất phát b theo hướng tây nên b > 0).

Khi đó 14a + 7b = 9.