Hai chất điểm A và B chuyển động thẳng đều cùng hướng về O (như hình vẽ), biết rằng vận tốc V B = V A/ √ 3 và góc .

Gọi \({d_1},{d_2}\) lần lượt là khoảng cách các vật \(A\) và \(B\) đến \(O\) lúc đầu (\(t = 0\)), đồng thời \[d = AB\]. Gọi \(t'\)là thời điểm mà \({d_{\min }}\). Khi đó \(A\) ở \(A'\) và \(B\) ở \(B'\) như hình vẽ.

Kí hiệu góc .

Áp dụng định lý sin trong tam giác \(\Delta A'B'O\) ta có:

\(\frac{d}{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\,30}} = \frac{{OA'}}{{\sin \gamma }} = \frac{{OB'}}{{\sin \beta }} \Leftrightarrow 2d = \frac{{{d_1} - AA'}}{{\sin \gamma }} = \frac{{{d_2} - BB'}}{{\sin \beta }} \Leftrightarrow 2d = \frac{{{d_1} - {v_1}t}}{{\sin \gamma }} = \frac{{{d_2} - {v_2}t}}{{\sin \beta }}\left( * \right)\)

Do \({v_2} = \frac{{{v_1}}}{{\sqrt 3 }}\) và áp dụng \(\frac{A}{B} = \frac{C}{D} = \frac{{C - A}}{{D - B}}\), ta có:

\(\left( * \right) \Leftrightarrow 2d = \frac{{\sqrt 3 {d_2} - {d_1}}}{{\sqrt 3 \sin \beta  - \sin \gamma }}\)mà \(\sin \beta  = \sin \left( {{{180}^0} - \beta } \right) = \sin \left( {{{30}^0} + \gamma } \right)\)

Do đó ta có \(d = \frac{{\sqrt 3 {d_2} - {d_1}}}{{2\left[ {\sqrt 3 \sin \left( {{{30}^0} + \gamma } \right) - \sin \gamma } \right]}} = \frac{{\sqrt 3 {d_2} - {d_1}}}{{\sqrt 3 \cos \gamma  + \sin \gamma }}\)

Xét \(f\left( \gamma  \right) = \sqrt 3 \cos \gamma  + \sin \gamma \). Ta có \({d_{\min }} \Leftrightarrow f{\left( \gamma  \right)_{\max }}\)

\(f'\left( \gamma  \right) =  - \sqrt 3 \sin \gamma  + c{\rm{os}}\gamma ;f'\left( \gamma  \right) = 0 \Leftrightarrow  - \sqrt 3 \sin \gamma  + c{\rm{os}}\gamma  = 0 \Leftrightarrow \tan \gamma  = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \gamma  = {30^0}.\)

\(f''\left( \gamma  \right) =  - \sqrt 3 {\rm{cos}}\gamma  - {\rm{sin}}\gamma ;f''\left( {{{30}^0}} \right) =  - \sqrt 3 {\rm{cos}}{30^0} - {\rm{sin}}{30^0} =  - 2 < 0\)

Vậy, khi \(\gamma  = {30^0}\) thì khoảng cách giữa hai chất điểm \(A\) và \(B\) là nhỏ nhất.