(H.5.8) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) không đi qua gốc tọa độ và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tương ứng tại các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a, b, c ≠ 0). Chứng minh rằng mặt
17/37
(H.5.8) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) không đi qua gốc tọa độ và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tương ứng tại các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a, b, c ≠ 0).
Chứng minh rằng mặt phẳng (α) có phương trình: xa+yb+zc=1.
Mặt phẳng (α) nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - a;b;0} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( { - a;0;c} \right)\) làm một cặp vectơ chỉ phương. Do đó mặt phẳng (α) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}b&0\\0&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - a}\\c&{ - a}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}&b\\{ - a}&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {bc;ca;ba} \right)\)làm một vectơ pháp tuyến.
Khi đó phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(a; 0; 0) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {bc;ca;ba} \right)\)làm vectơ pháp tuyến có dạng: bc(x – a) + cay + baz = 0 Û bcx + cay + baz = abc
\( \Leftrightarrow \frac{{bcx}}{{abc}} + \frac{{cay}}{{abc}} + \frac{{baz}}{{abc}} = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\).