Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số

10/20

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số \[y = x.cosx\] mà F(0)=1. Phát biểu nào sau đây đúng:

F(x) là hàm chẵn.

F(x) là hàm lẻ.

F(x) là hàm tuần hoàn với chu kì 2π.

F(x) không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ.

Giải thích

Ta có \[F\left( x \right) = \smallint x.\cos xdx\]

Đặt\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = x}\\{dv = cosxdx}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dx}\\{v = sinx}\end{array}} \right. \Rightarrow F(x) = xsinx - \smallint sinxdx + C = xsinx + cosx + C.\)

\[F\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow 0\sin 0 + \cos 0 + C = 1 \Leftrightarrow 1 + C = 1 \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow F\left( x \right) = x\sin x + \cos x\]

Ta có:

\[F\left( { - x} \right) = \left( { - x} \right)\sin \left( { - x} \right) + \cos \left( { - x} \right) = x\sin x + \cos x = F\left( x \right) \Rightarrow F\left( x \right)\] là hàm chẵn.

Đáp án cần chọn là: A