Gọi (x1;y1), (x2;y2) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình x^2 + y^2 - xy +x +y=8

21/150

Gọi \(\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),\,\,\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} - xy + x + y = 8}\\{xy + 3(x + y) = 1}\end{array}} \right..\) Tính \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right|.\)

Giải thích

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} - xy + x + y = 8}\\{xy + 3\left( {x + y} \right) = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {x + y} \right)}^2} - 3xy + x + y = 8}\\{xy + 3\left( {x + y} \right) = 1}\end{array}} \right.} \right.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = S}\\{xy = P}\end{array}\,;\,\,{S^2} \ge 4P} \right.\), hệ đã cho trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{S^2} + S - 3P = 8}\\{3S + P = 1}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{S^2} + S - 3\left( {1 - 3S} \right) = 8}\\{P = 1 - 3S}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{S^2} + 10S - 11 = 0}\\{P = 1 - 3S}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{S = 1}\\{P = - 2}\end{array}\,\,(\;{\rm{N}})} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{S = - 11}\\{P = 34}\end{array}\,\,(\;{\rm{L}})} \right.}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Với \(S = 1\,;\,\,P = - 2\) ta có \[x;{\rm{ }}y\] là nghiệm của phương trình \({t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = - 2}\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {1\,;\,\, - 2} \right);\,\,\left( { - 2\,;\,\,1} \right) \Rightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \left| {1 - \left( { - 2} \right)} \right| = \left| { - 2 - 1} \right| = 3.\)

Chọn A.