Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x^2 − 3x − 6 = 0. Không giải phương trình, hãy tìm số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn 2x1^2 − x1x2^2 + 7k ≥ 0.

Vì phương trình có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) nên theo định lí Viète ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 3}\\{{x_1}{x_2} =  - 6}\end{array}} \right.\).

Vì \({x_1}\) là nghiệm của phương trình nên ta được: \(x_1^2 - 3{x_1} - 6 = 0\) hay \(x_1^2 = 3{x_1} + 6\).

Từ đây, ta có bất phương trình như sau:

\(2x_1^2 - {x_1}x_2^2 + 7k \ge 0\)

\(2x_1^2 - \left( {{x_1}{x_2}} \right){x_2} + 7k \ge 0\)

\(2\left( {3{x_1} + 6} \right) + 6{x_2} + 7k \ge 0\)

\(6\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 12 + 7k \ge 0\)

\(30 + 7k \ge 0\)

\(k \ge \frac{{ - 30}}{7}\).

Mà \(k \in \mathbb{Z}\) cho nên giá trị nhỏ nhất của \(k\) là \( - 4\).

Vậy \(k\) bằng \( - 4\) thỏa mãn bài toán.