Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình ẩn 3x^2−12x−5=0. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức

Vì phương trình có \(a \cdot c = 3 \cdot ( - 5) = - 15 < 0\) nên luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = \frac{{12}}{3} = 4}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - \frac{5}{3}}\end{array}} \right.\)

Thay \(4 = {x_1} + {x_2}\) vào biểu thức \(T\), ta được:

\(T = \frac{{x_1^2 + ({x_1} + {x_2}){x_2} - {x_1}{x_2}}}{{({x_1} + {x_2}){x_1} + x_2^2 + {x_1}{x_2}}}\)

\(T = \frac{{x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2 - {x_1}{x_2}}}{{x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2 + {x_1}{x_2}}}\)

\(T = \frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2}} = \frac{{{{({x_1} + {x_2})}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{{({x_1} + {x_2})}^2}}}\). Thay các giá trị Viete vào:\(T = \frac{{{4^2} - 2 \cdot \left( { - \frac{5}{3}} \right)}}{{{4^2}}} = \frac{{16 + \frac{{10}}{3}}}{{16}} = \frac{{\frac{{58}}{3}}}{{16}} = \frac{{58}}{{48}} = \frac{{29}}{{24}}\)

Vậy \(T = \frac{{29}}{{24}}\).