Gọi \[x,\,\,y,\,\,z\] là chiều dài, chiều rộng và chiều cao của một thùng giấy có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp bên trên (hình vẽ)

Ta có: \(S = xy + 2xz + 2yz = 100\), thể tích của thùng là \(V = xyz\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\frac{{xy + 2xz + 2yz}}{3} \ge \sqrt[3]{{4{x^2}{y^2}{z^2}}} \Rightarrow {\left( {\frac{S}{3}} \right)^3} \ge 4{x^2}{y^2}{z^2} = 4{V^2} \Rightarrow V \le \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\frac{S}{3}} \right)}^3}} \).

Dấu  xảy ra \( \Leftrightarrow xy = 2xz = 2yz = \frac{S}{3} \Leftrightarrow x = y = 2z = \sqrt {\frac{S}{3}} \)

\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{3}{4} \cdot S = \frac{3}{4} \cdot 100 = 75\).

Đáp án: 75.