Gọi v(t) là tốc độ thay đổi quy mô quần thể tại thời điểm t. Dựa vào các dữ liệu đã cho, nhận xét nào sau đây phản ánh đúng nhất về sự biến động của quần thể sinh vật X?

Ta có \(f\left( t \right) =  - \frac{1}{{300}}{t^3} + b{t^2} + ct + 12000\).

Khi đó \(v\left( t \right) = f'\left( t \right) =  - \frac{1}{{100}}{t^2} + 2bt + c\).

Ngày 26/9/2024 ứng với \(t = 270\) là ngày có số lượng cá thể sinh vật X nhiều nhất với \(55\;740\)con nên hàm số đạt cực đại tại \(t = 270\).

Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {270} \right) = 0\\f\left( {270} \right) = 55740\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{{100}} \cdot {270^2} + 540b + c = 0\\ - \frac{1}{{300}} \cdot {270^3} + b \cdot {270^2} + 270c + 12000 = 55740\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}540b + c = 729\\72900b + 270c = 109350\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{6}{5}\\c = 81\end{array} \right.\).

Vậy hàm số đã cho là \(f\left( t \right) =  - \frac{1}{{300}}{t^3} + \frac{6}{5}{t^2} + 81t + 12000\).

Thử lại \(f'\left( t \right) =  - \frac{1}{{100}}{t^2} + \frac{{12}}{5}t + 81\); \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 270\\t =  - 30\end{array} \right.\).

Vì \(t > 0\)nên \(t =  - 30\) loại.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy tại thời điểm t = 270, tốc độ thay đổi quy mô quần thể bằng 0, trước đó quần thể đang trong giai đoạn tăng trưởng và sau đó bắt đầu suy giảm. Chọn C.