Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

Cách 1: Ta có \({x^3} - 3{x^2} - {m^3} + 3{m^2} = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} = {m^3} - 3{m^2} \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( m \right)\) (1)

Xét hàm số \[f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} \cdot f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\,,\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\].

\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 3}\end{array}} \right.\); \(f\left( x \right) =  - 4 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x =  - 1}\end{array}} \right.\).

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra (1) có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow  - 4 < f(m) < 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 < m < 3}\\{m \ne 0}\\{m \ne 2}\end{array}} \right..\)

Suy ra \(T = \left\{ 1 \right\}.\) Vậy tổng tất cả các phần tử của \(T\) bằng 1 .

Cách 2: Ta có \({x^3} - 3{x^2} - {m^3} + 3{m^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^3} - {m^3}} \right) - 3\left( {{x^2} - {m^2}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left[ {{x^2} + \left( {m - 3} \right)x + {m^2} - 3m} \right] = 0\)

⇔x=mx2+m−3x+m2−3m=0(*)

Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow (*)\) có hai nghiệm phân biệt, khác m.

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta  = {{\left( {m - 3} \right)}^2} - 4\left( {{m^2} - 3m} \right) > 0}\\{{m^2} + \left( {m - 3} \right)m + {m^2} - 3m \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {m - 3} \right)\left( { - 3m - 3} \right) > 0}\\{3{m^2} - 6m \ne 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne m < 3\\m \ne 0\\m \ne 2\end{array} \right. \Rightarrow m = 1{\rm{ (v\`i  }}m \in \mathbb{Z})\)

Suy ra \(T = \left\{ 1 \right\}.\) Vậy tổng tất cả các phần tử của \(T\) bằng 1 .

Đáp án: 1.