Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên k sao cho C k 14 , C k + 1 14 , C k + 2 14 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính tổng tất cả các phần tử của S .
Giải thích
Chọn D
Ta có \[C_{14}^k + C_{14}^{k + 2} = 2C_{14}^{k + 1} \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{k!\left( {14 - k} \right)!}} + \frac{{14!}}{{\left( {k + 2} \right)!\left( {12 - k} \right)!}} = 2\frac{{14!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {13 - k} \right)!}}\]
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right)}} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{2}{{\left( {k + 1} \right)\left( {13 - k} \right)}}\)
\( \Leftrightarrow \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) + \left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right) = 2\left( {k + 2} \right)\left( {14 - k} \right)\)
\( \Leftrightarrow {k^2} - 12k + 32 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 8\\k = 4\end{array} \right.\).