Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị x thuộc (0;10pi) và sinx/2, căn 3 cosx, tan x theo thứ tự là một cấp số nhân,

Phương pháp giải

Lời giải

ĐK: \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)

\(\frac{{\sin x}}{2};\sqrt 3 \cos x;\,\,\tan x\) theo thứ tự là một cấp số nhân nên ta có:

\(\frac{{\sin x}}{2}.\tan x = {(\sqrt 3 \cos x)^2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}x}}{{2\cos x}} = 3{\cos ^2}x\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 6{\cos ^3}x\)

\( \Leftrightarrow 1 - {\cos ^2}x = 6{\cos ^3}x\)

\( \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{x =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right.\)

Với \(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \)

\(0 < \frac{\pi }{3} + k2\pi  < 10\pi  \Leftrightarrow  - \frac{\pi }{3} < k2\pi  < \frac{{29\pi }}{3} \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{6} < k < \frac{{29}}{6}\)

\( \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{\pi }{3};\frac{{7\pi }}{3};\frac{{13\pi }}{3};\frac{{19\pi }}{3};\frac{{25\pi }}{3}} \right\}\)

Với \(x =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi \)

\(0 <  - \frac{\pi }{3} + k2\pi  < 10\pi  \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} < k2\pi  < \frac{{31\pi }}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{6} < k < \frac{{31}}{6}\)

\( \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{5\pi }}{3};\frac{{11\pi }}{3};\frac{{17\pi }}{3};\frac{{23\pi }}{3};\frac{{29\pi }}{3}} \right\}\)

Tổng các phần tử của S là 50π.