Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

Parabol có hệ số theo \({x^2}\) là \(4 > 0\) nên bề lõm hướng lên. Hoành độ đỉnh \({x_I} = \frac{m}{2}\).

Nếu \(\frac{m}{2} <  - 2 \Leftrightarrow m <  - 4\) thì \({x_I} <  - 2 < 0\). Suy ra \(f(x)\) đồng biến trên đoạn \([ - 2;0]\).

Do đó \(\mathop {\min }\limits_{[ - 2;0]} f(x) = f( - 2) = {m^2} + 6m + 16\).

Theo yêu cầu bài toán: \({m^2} + 6m + 16 = 3\) (vô nghiệm).

Nếu \( - 2 \le \frac{m}{2} \le 0 \Leftrightarrow  - 4 \le m \le 0\) thì \({x_I} \in [0;2]\).

Suy ra \(f(x)\) đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh. Do đó \(\mathop {\min }\limits_{[ - 2;0]} f(x) = f\left( {\frac{m}{2}} \right) =  - 2m\).

Theo yêu cầu bài toán \( - 2m = 3 \Leftrightarrow m =  - \frac{3}{2}\) (thỏa mãn \( - 4 \le m \le 0\) ).

Nếu \(\frac{m}{2} > 0 \Leftrightarrow m > 0\) thì \({x_I} > 0 >  - 2\). Suy ra \(f(x)\) nghịch biến trên đoạn \([ - 2;0]\).

Do đó \(\mathop {\min }\limits_{[ - 2;0]} f(x) = f(0) = {m^2} - 2m\).

Theo yêu cầu bài toán: \({m^2} - 2m = 3 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m =  - 1\,\,\,\left( l \right){\rm{ }}}\\{m = 3\quad \left( {tm} \right){\rm{ }}}\end{array}} \right.\)

Vậy tổng giá trị của m là \(\frac{3}{2}\).