Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình

100/100

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^2} - 5x + m} \right) > {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x - 2} \right)\) có tập nghiệm chứa khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

\(S = \left( {7; + \infty } \right)\).

\(S = \left[ {6; + \infty } \right)\).

\(S = \left( { - \infty ;4} \right)\).

\(S = \left( { - \infty ;5} \right]\)

Giải thích

Ta có: \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^2} - 5x + m} \right) > {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2 > 0}\\{{x^2} - 5x + m > x - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2}\\{m > - {x^2} + 6x - 2}\end{array}} \right.} \right.\).

Bất phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^2} - 5x + m} \right) > {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x - 2} \right)\) có tập nghiệm chứa khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow m > - {x^2} + 6x - 2\) có nghiệm với mọi \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = - {x^2} + 6x - 2\) trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Ta có \(f'\left( x \right) = - 2x + 6,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3\)

Bảng biến thiên

Media VietJack

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(m > - {x^2} + 6x - 2\) có nghiệm với mọi \(x \in \left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow m > 7\).