Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình l o g 3 ( ^ 2 − 5 x + m ) > l o g 3 ( x − 2 ) có tập nghiệm chứa khoảng ( 2 ; + ∞ ) . Khẳng định nào sau đây là đú

85/100

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^2} - 5x + m} \right) > {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x - 2} \right)$ có tập nghiệm chứa khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

$S = \left( {7; + \infty } \right)$

$S = \left[ {6; + \infty } \right)$.

$S = \left( { - \infty ;4} \right)$.

$S = \left( { - \infty ;5} \right]$.

Giải thích

Ta có:

${\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^2} - 5x + m} \right) > {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2 > 0}\\{{x^2} - 5x + m > x - 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 2}\\{m > - {x^2} + 6x - 2}\end{array}} \right.} \right.$.

Bất phương trình ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^2} - 5x + m} \right) > {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x - 2} \right)$ có tập nghiệm chứa khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$

$ \Leftrightarrow m > - {x^2} + 6x - 2$ có nghiệm với mọi $x \in \left( {2; + \infty } \right)$.

Xét hàm số $f\left( x \right) = - {x^2} + 6x - 2$ trên $\left( {2; + \infty } \right)$.

Ta có $f'\left( x \right) = - 2x + 6,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3$

Bảng biến thiên

$Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^2} - 5x + m} \right) > {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x - 2} \right)$ có tập nghiệm chứa khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. $S = \left( {7; + \infty } \right)$ B. $S = \left[ {6; + \infty } \right)$. C. $S = \left( { - \infty ;4} \right)$. D. $S = \left( { - \infty ;5} \right]$. (ảnh 1)$

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $m > - {x^2} + 6x - 2$ có nghiệm với mọi $x \in \left( {2; + \infty } \right) \Leftrightarrow m > 7$.

Chọn A