Gọi S là tập các giá trị m nguyên m để phương trình 9(căn 10 +3)^x+(căn 10 -3^x)-m +2020=0 có đúng hai nghiệm

37/50

Gọi S là tập các giá trị m nguyên$m$ để phương trình $9.{\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^x} + {\left( {\sqrt {10} - 3} \right)^x} - m + 2020 = 0$ có đúng hai nghiệm âm phân biệt. Số tập con của S là

$7$.

$3$.

$6$.

$8$.

Giải thích

Do ${\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^x}.{\left( {\sqrt {10} - 3} \right)^x} = 1$ nên:

Đặt ${\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^x} = t$ với $t >0 \Rightarrow {\left( {\sqrt {10} - 3} \right)^x} = \frac{1}{t},$ ta có phương trình

$9t + \frac{1}{t} - m + 2020 = 0 \Leftrightarrow m = 9t + \frac{1}{t} + 2020{\rm{ }}\left( * \right).$

Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm âm phân biệt $ \Leftrightarrow \left( * \right)$ có hai nghiệm $t \in \left( {0;1} \right).$

Xét hàm số $f\left( t \right) = 9t + \frac{1}{t} + 2020 \Rightarrow f'\left( t \right) = 9 - \frac{1}{{{t^2}}}.$

$f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \pm \frac{1}{3}.$

Bảng biến thiên:

$Gọi S là tập các giá trị m nguyên$m$ để phương trình $9.{\left( {\sqrt {10} + 3} \right)^x} + {\left( {\sqrt {10} - 3} \right)^x} - m + 2020 = 0$ có đúng hai nghiệm âm phân biệt. Số tập (ảnh 1)$

Do đó, $m \in \left( {2026;2029} \right).$ Do $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow S = \left\{ {2027;2028;2029} \right\}.$

Vậy số tập con của $S$ là 8Đáp án D