Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số f(x) = −x^2 + 4x, g(x) = x và hai đường thẳng x = 1, x = 3 (H.4.16). a) Giả sử S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
3/15
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số f(x) = −x2 + 4x, g(x) = x và hai đường thẳng x = 1, x = 3 (H.4.16).
a) Giả sử S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = −x2 + 4x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3; S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3. Tính S1, S2 và từ đó suy ra S.
b) Tính ∫13fx−gxdxvà so sánh với S.
a) Ta có \({S_1} = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 4x} \right|dx} \)\( = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 4x} \right)dx} \)\( = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2}} \right)} \right|_1^3\)\( = 9 - \frac{5}{3} = \frac{{22}}{3}\).
\({S_2} = \int\limits_1^3 {\left| x \right|} dx\)\( = \int\limits_1^3 x dx\)\( = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_1^3 = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = 4\).
Do đó S = S1 – S2 = \(\frac{{22}}{3} - 4 = \frac{{10}}{3}\).
b) \(\int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|} dx\)\( = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 4x - x} \right|} dx\)\( = \int\limits_1^3 {\left| { - {x^2} + 3x} \right|} dx\)\( = \int\limits_1^3 {\left( { - {x^2} + 3x} \right)} dx\)
\( = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 3.\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^3\)\( = \frac{9}{2} - \frac{7}{6} = \frac{{10}}{3}\).
Vậy \(S = \int\limits_1^3 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|} dx\).