Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) = (2 x + 1)/( x − 2) trên đoạn [ 3 ; 7 ] . Tính giá trị của M ^2 + m .

Chọn A.

Hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) liên tục trên \(\left[ {3;7} \right]\).

Ta có: \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

Nhận xét: \(y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\,\forall x \in \left[ {3;7} \right]\).

\[ \Rightarrow y = f\left( x \right)\] là hàm số nghịch biến trên \(\left[ {3;7} \right]\).

Xét trên đoạn \(\left[ {3;7} \right]\), ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\max }\limits_{\left[ {3;7} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = 7\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;7} \right]} f\left( x \right) = f\left( 7 \right) = 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = 7\\m = 3\end{array} \right. \Rightarrow {M^2} + m = 52\].