Gọi \(M,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x + \sqrt {2 - {x^2}} \). Tính \(M - \sqrt 2 \cdot m\).

Lời giải

Điều kiện: \(2 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - \sqrt 2  \le x \le \sqrt 2 \).

Tập xác định của hàm số \(y = x + \sqrt {2 - {x^2}} \) là \(D = \left[ { - \sqrt 2 ;\,\sqrt 2 } \right]\).

Ta có \(y' = 1 - \frac{x}{{\sqrt {2 - {x^2}} }}\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt {2 - {x^2}}  = x \Rightarrow x = 1 \in \left( { - \sqrt 2 ;\,\sqrt 2 } \right)\).

\(y\left( { - \sqrt 2 } \right) =  - \sqrt 2 \); \(y\left( {\sqrt 2 } \right) = \sqrt 2 \); \(y\left( 1 \right) = 2\).

Khi đó, \[M = \max y = y\left( 1 \right) = 2;\,\,m = \min y = y\left( { - \sqrt 2 } \right) =  - \sqrt 2 \].

Vậy \(M - \sqrt 2  \cdot m = 2 - \sqrt 2  \cdot \,\left( { - \sqrt 2 } \right) = 4\).

Đáp án: 4.