Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = (3 sin x + 2)/( sin x + 1) trên đoạn [ 0 ; π 2 ] . Khi đó giá trị của M^2 + m ^2 = b c , tính T = b − c

Đặt \(t = \sin x\), \(t \in \left[ {0\,;\,1} \right]\).

Xét hàm \(f\left( t \right) = \frac{{3t + 2}}{{t + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0\,;\,1} \right]\) có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} > 0\,,\,t \in \left[ {0\,;\,1} \right]\).

Suy ra hàm số đồng biến trên \(\left[ {0\,;\,1} \right]\)

\[ \Rightarrow M = \mathop {{\rm{Max}}}\limits_{\left[ {0;1} \right]} f(t) = f(1) = \frac{5}{2}\] và \[m = \mathop {{\rm{Min}}}\limits_{\left[ {{\rm{0;1}}} \right]} f(t) = f(0) = 2\].

Khi đó, \({M^2} + {m^2} = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} + {2^2} = \frac{{41}}{4}\) \( \Rightarrow b - c = 37\).