Gọi M là điểm bất kì trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các hình vuông

a. Xét ∆CAB, ta có CM ⊥ AB, BE ⊥ AC (Vì BE ⊥ MF, MF // AC) ⇒ AE ⊥ BC.

b. Gọi O là giao điểm của AC và DM.

Do \(\widehat {AHC} = 90^\circ \) (câu a) nên \(OH = \frac{{AC}}{2}\)

Do đó \(OH = \frac{{DM}}{2}\)

∆MHD có đường trung tuyến HO bằng nửa DM nên \(\widehat {MHD} = 90^\circ \left( 1 \right)\)

Chứng minh tương tự, \(\widehat {MHF} = 90^\circ \left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra D, H, F thẳng hàng.

c. Gọi I là giao điểm của DF và AC

\(\Delta DMF\) có DO = OM, OI // MF

Nên I là trung điểm của DF

Kẻ \(II' \bot AB\) thì I’ là trung điểm của AB

Và \(II' = \frac{{AD + BF}}{2} = \frac{{AM + MB}}{2} = \frac{{AB}}{2}\)

Do đó I là điểm cố định: I nằm trên đường trung trực của AB và cách AB 1 khoảng bằng \(\frac{{AB}}{2}\).