Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e^x, trục hoành và các đường thẳng x = - 1, x = 1. Với k ( - 1;1), đường thẳng x = k chia hình phẳng ( H ) thành hai hình phẳng có diệ
5/23
Gọi \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {e^x}\), trục hoành và các đường thẳng \(x = - 1\), \(x = 1\). Với \(k \in \left( { - 1;1} \right)\), đường thẳng \(x = k\) chia hình phẳng \(\left( H \right)\) thành hai hình phẳng có diện tích lần lượt là \({S_1}\) và \({S_2}\) (như hình vẽ bên). Giá trị k để \({S_1} = {S_2}\) là
\(2\ln 2 - 1\).
\(2\ln \left( {e - \frac{1}{e}} \right) - 1\).
\(\ln \left( {e + \frac{1}{e}} \right) - \ln 2\).
\(\ln 2\).
Hướng dẫn giải
Vì \({e^x} > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên ta có
\({S_1} = \int\limits_{ - 1}^k {{e^x}dx} = {e^x}\left| \begin{array}{l}^k\\_{ - 1}\end{array} \right. = {e^k} - {e^{ - 1}}\) và \({S_2} = \int\limits_k^1 {{e^x}dx} = {e^x}\left| \begin{array}{l}^1\\_k\end{array} \right. = e - {e^k}\)
\({S_1} = {S_2} \Leftrightarrow {e^k} - {e^{ - 1}} = e - {e^k} \Leftrightarrow 2{e^k} = e + \frac{1}{e} \Leftrightarrow {e^k} = \frac{1}{2}\left( {e + \frac{1}{e}} \right)\)
\( \Leftrightarrow k = \ln \frac{1}{2}\left( {e + \frac{1}{e}} \right) = \ln \left( {e + \frac{1}{e}} \right) - \ln 2\)
Chọn C.
Chú ý: \({a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}b\)