Góc giữa hai đường thẳng A M và B C ′ bằng góc giữa hai đường thẳng A M và M N .

13/22

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh có độ dài bằng \(a\); gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(B'C'\), \(BB'\).

a) Góc giữa hai đường thẳng \(AM\)và \[BC'\] bằng góc giữa hai đường thẳng \(AM\) và \[MN\].

b) Đoạn thẳng \(A'M\) có độ dài bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

c) Đoạn thẳng \(MN\) có độ dài bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

d) Góc giữa hai đường thẳng \(AM\) và \(BC'\) bằng \(60^\circ \).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

c (ảnh 1)

Ta có, \(MN{\rm{//}}BC'\) nên \(\left( {AM,BC'} \right) = \left( {AM,MN} \right)\).

Xét tam giác \(A'B'M\) vuông tại \(B'\) ta có:

\(A'M\)\( = \sqrt {A'{{B'}^2} + B'{M^2}} \)\( = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} \)\( = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

Xét tam giác \(AA'M\) vuông tại \(A'\) ta có:

\(AM = \sqrt {A{{A'}^2} + A'{M^2}} \)\( = \sqrt {{a^2} + \frac{{5{a^2}}}{4}} \)\( = \frac{{3a}}{2}\).

Có \(AN = A'M = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\); \(MN = \frac{{BC'}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Trong \(\Delta AMN\) ta có: \(\cos \widehat {AMN}\)\( = \frac{{M{A^2} + M{N^2} - A{N^2}}}{{2 \cdot MA \cdot MN}}\)\( = \frac{{\frac{{9{a^2}}}{4} + \frac{{2{a^2}}}{4} - \frac{{5{a^2}}}{4}}}{{2 \cdot \frac{{3a}}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}\)\( = \frac{{6{a^2}}}{4} \cdot \frac{4}{{6{a^2}\sqrt 2 }}\)\( = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Suy ra \(\widehat {AMN} = 45^\circ \). Vậy \(\left( {AM,BC'} \right) = \left( {AM,MN} \right)\)\( = \)\(\widehat {AMN} = 45^\circ \).

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.