Giới hạn lim khi x → dương vô cùng của (căn bậc hai của (x^2 − x) − 3 căn bậc hai của (x^3 + 1)) = lim khi x → dương vô cùng của (−a/x^b × (căn bậc hai của (1 − 1/x + 1))) với a; b là các số

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x} - \sqrt[3]{{{x^3} + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x} - x} \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x - \sqrt[3]{{{x^3} + 1}}} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - x - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x} + x}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3} - {x^3} - 1}}{{{x^2} + x\sqrt[3]{{{x^3} + 1}} + \sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2}}}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x}}{{\sqrt {{x^2} - x} + x}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 1}}{{{x^2} + x\sqrt[3]{{{x^3} + 1}} + \sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2}}}}}\)

Xét A = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x}}{{\sqrt {{x^2} - x} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x}}{{\sqrt {{x^2}\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x}}{{x\sqrt {1 - \frac{1}{x}} + x}}\).

Xét B = \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 1}}{{{x^2} + x\sqrt[3]{{{x^3} + 1}} + \sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2}}}}} = 0\)

(Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^2} + x\sqrt[3]{{{x^3} + 1}} + \sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2}}}} \right) = + \infty \))

Suy ra \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x} - \sqrt[3]{{{x^3} + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x}}{{x\sqrt {1 - \frac{1}{x}} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x}}{{x\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{x}} + 1} \right)}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right.\]

Do đó, P = a + b² = 1 + 1² = 2.