Giải phương trình sau: \({x^2} - 2x - 1 = \sqrt {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \).

Điều kiện: \(x \ge  - 1.\)

Ta có: \({x^2} - 2x - 1 = \left( {{x^2} + 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right)\)

Đặt \(a = \sqrt {{x^2} + 1} {\rm{ }}\left( {a > 0} \right)\), \(b = \sqrt {x + 1} {\rm{ }}\left( {b > 0} \right)\).

Từ (1) ta có phương trình \({a^2} - 2{b^2} = ab\) nên \({a^2} - 2{b^2} - ab = 0\)

Suy ra \(\left( {a + b} \right)\left( {a - 2b} \right) = 0\).

Vì \(a > 0,b > 0\) nên \(a + b > 0\).

Do đó, \(a - 2b = 0\) hay \(a = 2b\).

Suy ra \(\sqrt {{x^2} + 1}  = 2\sqrt {x + 1} \) , do đó \({x^2} + 1 = 4\left( {x + 1} \right)\)

Suy ra \({x^2} - 4x - 3 = 0\).

Tính được \({x_1} = 2 + \sqrt 7 \) (thỏa mãn) và \({x_2} = 2 - \sqrt 7 \) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là \(\left\{ {2 + \sqrt 7 ;2 - \sqrt 7 } \right\}\).