Giải phương trình sau: 6x^4 – 5x^3 – 38x^2 – 5x + 6 = 0.

6x⁴ – 5x³ – 38x² – 5x + 6 = 0 (1)

* Xét x = 0 thì 6.0⁴ – 5.0³ – 38.0² – 5.0 + 6 = 6 ≠ 0.

Do đó x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1).

* Xét x ≠ 0: chia cả hai vế của phương trình (1) cho x², ta được:

6x2−5x−38−5x+6x2=0

⇔(6x2+6x2)−(5x+5x)−38=0

⇔6(x2+1x2)−5(x+1x)−38=0 (2)

Đặt t=x+1x ⇒t2=(x+1x)2=x2+1x2+2⇒t2=(x+1x)2=x2+1x2+2

⇒x2+1x2=t2−2.

Khi đó, phương trình (2) tương đương:

6(t² – 2) – 5t – 38 = 0

⇔ 6t² – 12 – 5t – 38 = 0

⇔ 6t² – 5t – 50 = 0

⇔ 6t² + 15t – 20t – 50 = 0

⇔ (6t² + 15t) – (20t + 50) = 0

⇔ 3t(2t + 5) – 10(2t + 5) = 0

⇔ (2t + 5) (3t – 10) = 0

⇔ 2t + 5 = 0 hoặc 3t – 10 = 0

⇔t=−52 hoặc t=103.

+) Với t=−52 thì x+1x=−52 ⇔x+52+1x=0

⇔2x² + 5x + 2 = 0

⇔2x² + 4x + x + 2 = 0

⇔2x(x + 2) + (x + 2) = 0

⇔(x + 2) (2x + 1) = 0

⇔x + 2 = 0 hoặc 2x + 1 = 0

⇔x = – 2 (TM) hoặc x=−12 (TM).

Do đó x = – 2; x=−12 là nghiệm của phương trình (1).

+) Với t=103 thì x+1x=103⇔x−103+1x=0

⇔ 3x² – 10x + 3 = 0

⇔ 3x² – 9x – x + 3 = 0

⇔ 3x(x – 3) – (x – 3) = 0

⇔ (x – 3)(3x – 1) = 0

⇔ x – 3 = 0 hoặc 3x – 1 = 0

⇔ x = 3 hoặc x=13.

Do đó x = 3; x=13 là nghiệm của phương trình (1).

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S={2;  −12;  3;  13}.