Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Mặt phẳng (α) qua A và vuông góc với SC cắt các cạn SB, SC, SD lần lượt tại các điểm M, N, P. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP. (ảnh 1)

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD nên O là trung điểm của AC

Ta có:CD ^ AD; CD ^ SA

Suy ra CD ^ (SAD) hay CD ^ AP

Lại có:SC ^ AP (do SC ⊥ (α)); CD ⊥ AP

Suy ra AP ⊥ (SCD) ⇒ AP ⊥ CP ⇒ ΔAPC vuông tại P

⇒ OA = OC = OP

Tương tự, ta có: ΔAMC vuông tại M

⇒ OA = OC = OM

Lại có: SC ⊥ AN (do SC ⊥ (α))

Khi đó ΔANC vuông tại N nên OA = OC = ON

⇒ OA = OC = OP = OM = ON

ÞO là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP

Bán kính của khối cầu là: R=OA=AB2=2.

Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP là:
V=4π3⋅23=32π3.

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP là 32π3.

Giải phương trình: cotx = tan2x.