Giải phương trình: căn bậc hai x^2+x+1 +căn bậc hai x-x^2+1= x^2-x+2

ĐK: x² + x + 1 ≥ 0 và x – x² + 1 ≥ 0.

Nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si mỗi hạng số vế trái ta được:

(x2+x+1).1≤x2+x−1+12=x2+x2 (1)

(x−x2+1).1≤x−x2+1+12=−x2+x+22(2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có:

x2+x+1+x−x2+1≤x2+x2+−x2+x+22=x+1

Nên theo đề ta có: x² – x + 2 ≤ x + 1 ⇔(x – 1)² ≤ 0.

Đẳng thức xảy ra khi x – 1 = 0 hay x = 1.

Thử lại ta thấy x = 1 thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.