Giải phương trình: căn bậc hai của 3 cos^2x - sinxcosx  +  sin^2x = 1

Lời giải

+) TH1: cosx = 0 hay \[{\rm{x}} = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Suy ra sin²x = 1

Khi đó \(\sqrt 3 .0 - 1.0{\rm{ + 1}} = 1\) (luôn đúng)

Do đó \[{\rm{x}} = \frac{\pi }{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\] là nghiệm của phương trình

+) TH1: cosx ≠ 0

Chia cả 2 vế của phương trình cho cos²x ta có:

\(\sqrt 3 - \tan x + {\tan ^2}x = \frac{1}{{co{s^2}x}}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 3 - \tan x + {\tan ^2}x = 1 + {\tan ^2}x\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 3 - 1 = \tan x\)

\( \Leftrightarrow x = \arctan \left( {\sqrt 3 - 1} \right) + \frac{\pi }{4}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,x = \arctan \left( {\sqrt 3 - 1} \right) + \frac{\pi }{4}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).