a) Xét tam giác MOB có:

Áp dụng định lí côsin, ta có:

MB² = OM² + OB² – 2.OM.OB.cos\(\widehat {BOM}\)

⇔ MB² = x² + 2² – 2.x.2.cos60°

⇔ MB² = x² + 4 – 2x

⇔ MB = \(\sqrt {{x^2} - 2x + 4} \) (km).

Ta lại có \(\widehat {AOM} + \widehat {BOM} = 180^\circ \) ⇒ \(\widehat {AOM} = 180^\circ - \widehat {BOM} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Xét tam giác MOA có:

Áp dụng định lí côsin, ta có:

MA² = OM² + OA² – 2.OM.OA.cos\(\widehat {AOM}\)

⇔ MA² = x² + 1² – 2.x.1.cos120°

⇔ MA² = x² + 1 + x

⇔ MA = \(\sqrt {{x^2} + x + 1} \) (km).

Vậy MA = \(\sqrt {{x^2} + x + 1} \) km và MB = \(\sqrt {{x^2} - 2x + 4} \) km.

b) Để khoảng cách từ tàu đến B bằng \(\frac{4}{5}\) khoảng cách từ tàu đến A thì \(\sqrt {{x^2} - 2x + 4} = \frac{4}{5}\sqrt {{x^2} + x + 1} \)

⇒ x² – 2x + 4 = \(\frac{{16}}{{25}}\)(x² + x + 1)

⇒ 25x² – 50x + 100 = 16x² + 16x + 16

⇒ 9x² – 66x + 84 = 0

⇒ x = \(\frac{{11 - \sqrt {37} }}{3}\) hoặc x = \(\frac{{11 + \sqrt {37} }}{3}\).

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy với x = \(\frac{{11 - \sqrt {37} }}{3}\) hoặc x = \(\frac{{11 + \sqrt {37} }}{3}\) thì khoảng cách từ tàu đến B bằng \(\frac{4}{5}\) khoảng cách từ tàu đến A.

c) Đổi 500 m = 0,5 km = \(\frac{1}{2}\) km

Để khoảng cách từ tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O 500 m thì

\(\sqrt {{x^2} - 2x + 4} = x - \frac{1}{2}\)

⇔ x² – 2x + 4 = x² – x + \(\frac{1}{4}\)

⇔ – x = \( - \frac{{15}}{4}\).

⇔ x = \(\frac{{15}}{4}\).

Vậy x = \(\frac{{15}}{4}\) thì khoảng cách từ tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O 500 m.

Giải phương trình căn bậc hai (3x^2 + 27x - 41) = 2x + 3