Giải hệ phương trình căn bậc hai của (x + 2y − 1) + căn bậc hai của (1 − x) = x + 2, và 2y^3 − 2y^2 = x^2 + 3xy − xy^2.

ĐKXĐ: \(x + 2y \ge 1;\,\,x \le 1\)

Từ phương trình (2) ta có:

 \(\begin{array}{l}2{y^3} - 2{y^2} = {x^2} + 3xy - x{y^2}\\\left( {2{y^3} + x{y^2}} \right) - \left( {{x^2} + 3xy + 2{y^2}} \right) = 0\\{y^2}\left( {x + 2y} \right) - \left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right) = 0\\\left( {x + 2y} \right)\left( {{y^2} - x - y} \right) = 0\,\,\,\\{y^2} - x - y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x + 2y \ge 1} \right)\\x = {y^2} - y\end{array}\)

0,25

Thay vào phương trình (1)

\(\sqrt {{y^2} - y + 2y - 1}  + \sqrt {1 - \left( {{y^2} - y} \right)}  = {y^2} - y + 2\,\,\,\)

\(\sqrt {{y^2} + y - 1}  + \sqrt { - {y^2} + y + 1}  = {y^2} - y + 2\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\,\,\)  (ĐK: \({y^2} + y - 1 \ge 0;\,\,\,\,\,\, - {y^2} + y + 1 \ge 0\))

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

\(\,\,\sqrt {{y^2} + y - 1}  + \sqrt { - {y^2} + y + 1}  \le \frac{{{y^2} + y - 1 + 1}}{2} + \frac{{ - {y^2} + y + 1 + 1}}{2} = y + 1\)

Và \({y^2} - y + 2\, \ge y + 1\) 

\({\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng)

Dấu “=” xảy ra khi  \(y = 1;\,x = 0\) (Thỏa mãn các ĐK)

Vậy hpt có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;\,\,1} \right).\)

0,25