Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O) (với A, B là các tiếp điểm). (ảnh 1)

a) Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên MAO^=90° và MBO^=90°.

Xét tứ giác MAOB có: MAO^+MBO^=90°+90°=180°, mà hai góc này đối nhau nên tứ giác MAOB nội tiếp.

b) Do C đối xứng với B qua O nên BC là đường kính, do đó BAC^=90° hay AB⊥AC.

Ta có: OA = OB nên O nằm trên đường trung trực của AB.

MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên M nằm trên đường trung trực của AB

Suy ra OM là đường trung trực của AB do đó OM⊥AB.

Khi đó MN // AC (vì cùng vuông góc với AH) Do đó DMN^=ACM^ (so le trong).

Mà MAD^=ACM^ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn AD⏜).

Suy ra DMN^=MAD^.

Xét ΔMND và ΔANM có: N ^ là góc chung và DMN^=MAN^=MAD^.

Do đó ΔMND∽ΔANM (g.g) ⇒MNND=NAMN⇒MN2=ND⋅NA.

c) Dễ dàng chứng minh được ΔMAD∽ΔMCA (g.g) ⇒MAMC=MDMA⇒MA2=MD⋅MC.

Lại có MA2=MH⋅MO (hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông MAO)

Do đó MD⋅MC=MH⋅MO (cùng bằng MA2)

⇒MDMO=MHMC, mà ΔMDH và ΔMOC có M ^ là góc chung.

Do đó ΔMDH∽ΔMOC (g.g) nên MHD^=MCO^.

Mà MCO^=DCB^=DAB^=DAH^ (cùng chắn cung DB của đường tròn (O))

⇒MHD^=DAH^.

Lại có MHD^+DHA^=90° nên DAH^+DHA^=90°, suy ra DH⊥NA.

Do đó HN2=ND⋅NA.

Lại có MN2=ND⋅NA (câu b) nên HN2=MN2⇒HN=MN.

Ta có HA2HD2=AD⋅ANAD⋅DN=ANDN và ACHN=ACMN=ADDN (hệ quả định lí Thalès)

Suy ra HAHD2−ACHN=ANDN−ADDN=DNDN=1.

Giải hệ phương trình 3x + y = 6 và x - y = -2