Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AB lấy điểm M (M khác A, M khác B). Từ điểm M vẽ đường thẳng MN vuông góc với BC (N thuộc BC), đường thẳng MN cắt đường thẳng AC tại K. (ảnh 1)

1) Xét tứ giác AMNC có

CAM^=CAB^=90° (ΔABC vuông tại A, M∈AB).

CNM^=90° (MN⊥BC).

Suy ra CAM^+CNM^=90°+90°=180°.

Vậy tứ giác AMNC nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180^o ).2) Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AB lấy điểm M (M khác A, M khác B). Từ điểm M vẽ đường thẳng MN vuông góc với BC (N thuộc BC), đường thẳng MN cắt đường thẳng AC tại K. (ảnh 2)

Xét ANBK có

KAB^=90° (kề bù với góc vuông CAB).

KNB^=MNB^=90° (MN vuông góc BC, K thuộc đường thẳng MN).

Suy ra KAB^=KNB^=90°.

Do đó tứ giác ANBK nội tiếp (hai đỉnh A, N kề nhau cùng nhìn cạnh BK dưới một góc bằng 90^o )

Suy ra ABK^=ANK^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK) (1)

Vì tứ giác AMNC nội tiếp (chứng minh câu 5.1)

nên ANM^=ACM^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM).

hay ANK^=ACM^ (K thuộc đường thẳng MN) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ABK^=ACM^.

3) Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AB lấy điểm M (M khác A, M khác B). Từ điểm M vẽ đường thẳng MN vuông góc với BC (N thuộc BC), đường thẳng MN cắt đường thẳng AC tại K. (ảnh 3)

Xét ΔBCK có BA là đường cao, KN là đường cao, M là giao điểm của BA và K

Suy ra M là trực tâm của ΔBCK.

Do đó CM⊥BK (1)

Xét đường tròn đường kính BM có MDB^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra MD⊥BK (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm C, M, D thẳng hàng. Do đó CD⊥BK.

Diện tích ΔBIC là SBIC=12 . r . BC.

Diện tích ΔBIK là SBIK=12 . r . BK.

Diện tích ΔCIK là SCIK=12 . r . CK.

Diện tích ΔBCK là SBCK=12KN . BC=12BK . CD=12CK . AB.

Suy ra 12BC=SBCKKN; 12BK=SBCKCD; 12CK=SBCKAB.

Mà SBCK=SBIC+SBIK+SCIK

Hay SBCK=r⋅SBCKKN+r⋅SBCKCD+r⋅SBCKAB

Do đó SBCK=r . SBCK1KN+1CD+1AB

Vậy 1r=1KN+1CD+1AB⋅

Giải hệ phương trình 2x 3y 13 x 3y 2