Giải các phương trình sau: a) sin 2x + cos 4x = 0; b) cos 3x = – cos 7x.

Lời giải:

a) sin 2x + cos 4x = 0

⇔ cos 4x = – sin 2x

⇔ cos 4x = sin(– 2x)

⇔ cos 4x = cos\(\left( {\frac{\pi }{2} - \left( { - 2x} \right)} \right)\)

⇔ cos 4x = cos\(\left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \frac{\pi }{2} + 2x + k2\pi \\4x = - \left( {\frac{\pi }{2} + 2x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\) và \(x = - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3},k \in \mathbb{Z}\).

b) cos 3x = – cos 7x

⇔ cos 3x = cos(π + 7x)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \pi + 7x + k2\pi \\3x = - \left( {\pi + 7x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\\x = - \frac{\pi }{{10}} + k\frac{\pi }{5}\end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \(x = - \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\,k \in \mathbb{Z}\) và \(x = - \frac{\pi }{{10}} + k\frac{\pi }{5},k \in \mathbb{Z}\).