Giải các phương trình chứa ẩn ở mẫu sau: a) (x-3) / (x-2) + (x+2) / x = 2        b) (x-1) / (x+2) - x/ (x-2) = (4-6x) / x^2 -4

a) Điều kiện xác định \(x \ne 2;\,\,x \ne 0\).

\(\frac{{x - 3}}{{x - 2}} + \frac{{x + 2}}{x} = 2\)

\(\frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = 2\)

\(\left( {x - 3} \right)x + \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 2x\left( {x - 2} \right)\)             

\({x^2} - 3x + {x^2} - 4 = 2{x^2} - 4x\)      

\(x = 4\) (nhận)

Vậy nghiệm của phương trình trên là \(x = 4.\)

c) Điều kiện xác định \(x \ne - 1,\,\,x \ne 0\)\(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} + \frac{2}{x} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

\(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} + \frac{2}{x} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

\(\frac{{\left( {2x + 1} \right)x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

\(\left( {2x + 1} \right)x + 2\left( {x + 1} \right) = 2\)

\(2{x^2} + x + 2x + 2 = 2\)

\(2{x^2} + 3x = 0\)

\(x\left( {2x + 3} \right) = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(2x + 3 = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(x = - \frac{3}{2}\).

Đối chiếu với ĐKXĐ suy ra nghiệm của phương trình đã cho là \(x = - \frac{3}{2}.\)

b) Điều kiện xác định \(x \ne 2\) và \(x \ne - 2.\)

\(\frac{{x - 1}}{{x + 2}} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{4 - 6x}}{{{x^2} - 4}}\)

\[\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{4 - 6x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]

\[\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - x\left( {x + 2} \right) = 4 - 6x\]

\[{x^2} - 3x + 2 - {x^2} + 2x = 4 - 6x\]

\[ - 5x + 2 = 4 - 6x\]

\[6x - 5x = 4 - 2\]

\[x = 2\]

Giá trị \[x = 2\]không thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

d) Điều kiện xác định: \(x \ne \frac{1}{3},\,\,x \ne - \frac{1}{3}.\)

Ta có: \(\frac{{1 - 3x}}{{1 + 3x}} - \frac{{1 + 3x}}{{1 - 3x}} = \frac{{12}}{{1 - 9{x^2}}}\)

\(\frac{{1 - 3x}}{{1 + 3x}} - \frac{{1 + 3x}}{{1 - 3x}} = \frac{{12}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}\)

\(\frac{{{{\left( {1 - 3x} \right)}^2} - {{\left( {1 + 3x} \right)}^2}}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}} = \frac{{12}}{{\left( {1 + 3x} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}\)

\({\left( {1 - 3x} \right)^2} - {\left( {1 + 3x} \right)^2} = 12\)

\(\left( {1 - 3x - 1 - 3x} \right)\left( {1 - 3x + 1 + 3x} \right) = 12\)

\( - 6x \cdot 2 = 12\)

\( - 12x = 12\)

    \(x = - 1\) (thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = - 1\).