Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 3x^4 − 1728x^2 + 248832 trên đoạn [−92; 100] bằng:

Cách 1:

Ta biến đổi hàm số ban đầu: \(f\left( x \right) = 3\left( {{x^4} - 576{x^2} + 82944} \right) = 3{\left( {{x^2} - 288} \right)^2}\).

Vì \({\left( {{x^2} - 288} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được khi biểu thức bằng 0:

\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 288 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 12\sqrt 2 \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 92;100} \right]\) là \(0\).

Cách 2:

Tính đạo hàm: \(f'\left( x \right) = 12{x^3} - 3456x = 12x\left( {{x^2} - 288} \right)\); \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = \pm \sqrt {288} = \pm 12\sqrt 2 }\end{array}} \right.\).

Tất cả các nghiệm trên đều thuộc đoạn \(\left[ { - 92;100} \right]\).

Ta có: \(f\left( { - 92} \right) = 200540928;f\left( { - 12\sqrt 2 } \right) = 0;f\left( 0 \right) = 248832;f\left( {12\sqrt 2 } \right) = 0;f\left( {100} \right) = 282968832\).

So sánh các giá trị, vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 92;100} \right]\) là \(0\).

Chọn A.