Ta có\[y = f\left( {\left| x \right| - m} \right) = f\left( {\sqrt {{x^2}} - m} \right)\]

\[ \Rightarrow y' = \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2}} }}f'\left( {\sqrt {{x^2}} - m} \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2}} }}f'\left( {\sqrt {{x^2}} - m} \right)\]

Để hàm số đồng biến trên\[\left( {10; + \infty } \right)\]thì\[y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {10; + \infty } \right)\]

\[ \Rightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2}} }}f'\left( {\sqrt {{x^2}} - m} \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {10; + \infty } \right)\]

\[ \Rightarrow f'\left( {\sqrt {{x^2}} - m} \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {10; + \infty } \right)\,\,\left( * \right)\]

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên \[\left( {1; + \infty } \right)\]và\[\left( { - \infty ; - 1} \right)\]

Do đó (∗)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {{x^2}} - m \ge 1\forall x \in (10; + \infty )\,\,\,\,(1)}\\{\sqrt {{x^2}} - m \le - 1\forall x \in (10; + \infty )\,\,\,\,(2)}\end{array}} \right.\)

Xét (1) ta có\[m \le \sqrt {{x^2}} - 1\,\,\forall x \in \left( {10; + \infty } \right) \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {10; + \infty } \right)} \left( {\sqrt {{x^2}} - 1} \right)\]

Xét \[g\left( x \right) = \sqrt {{x^2}} - 1\]trên khoảng\[\left( {10; + \infty } \right)\]ta có

\[g'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2}} }} > 0\,\,\forall x \in \left( {10; + \infty } \right)\]do đó hàm số đồng biến trên\[\left( {10; + \infty } \right)\]

\[ \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {10; + \infty } \right)} \left( {\sqrt {{x^2}} - 1} \right) = g\left( {10} \right) = 9 \Leftrightarrow m \le 9\]

Xét (2) ta có: \[m \ge \sqrt {{x^2}} + 1\,\,\forall x \in \left( {10; + \infty } \right) \Rightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {10; + \infty } \right)} \left( {\sqrt {{x^2}} + 1} \right)\]

Do \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2}} + 1} \right) = + \infty \] nên hàm số đã cho không có GTLN trên\[\left[ {10; + \infty } \right)\]do đó không tồn tại m thỏa mãn (2).

Vậy \[m \le 9\] nên giá trị nguyên lớn nhất của m bằng 9.

Đáp án cần chọn là: C

Giá trị nhỏ nhất của hàm số