Giá trị lớn nhất của hàm số y = x.e^x trên [1;2] bằng:

Đạo hàm: \(y' = 1 \cdot {e^x} + x \cdot {e^x} = \left( {x + 1} \right){e^x}\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right){e^x} = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) (do \({e^x} > 0,\forall x\)). Giá trị \(x = - 1 \notin \left[ {1;2} \right]\).

Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn \(\left[ {1;2} \right]\):

Tại \(x = 1 \Rightarrow y\left( 1 \right) = 1 \cdot {e^1} = e\).

Tại \(x = 2 \Rightarrow y\left( 2 \right) = 2 \cdot {e^2} = 2{e^2}\).

So sánh hai giá trị, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left[ {1;2} \right]\) bằng \(2{e^2}\).

Chọn A.