Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = sin x + cos 2 x trên [ 0 ; π ] là …

Đáp số: \(1,125\)

Hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + \cos 2x\) liên tục trên \(\left[ {0;\pi } \right]\)

\(f\left( x \right) = \sin x + \cos 2x\)\( = \sin x + 1 - 2{\sin ^2}x\)

Đặt \(\sin x = t\) . Vì \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) nên \(t \in \left[ {0;1} \right]\)

Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất của  hàm số \(h\left( t \right) =  - 2{t^2} + t + 1\) trên \(\left[ {0;1} \right]\)

Hàm số \(h\left( t \right) =  - 2{t^2} + t + 1\)  liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\)

\(h\left( t \right) =  - 2{t^2} + t + 1\), \(h'\left( t \right) =  - 4t + 1\)

\(h'\left( t \right) = 0\)\( \Leftrightarrow t = \frac{1}{4}\)

\(h\left( 0 \right) = 1\), \(h\left( 1 \right) = 0\), \(h\left( {\frac{1}{4}} \right) = \frac{9}{8}\)

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} h\left( t \right) = \frac{9}{8}\).