Giả sử người đó đi từ \(A\) đến \(M\) để lấy nước và đi từ \(M\) về \(B\)

Dễ dàng tính được \(BD = 369,EF = 492\).

Đoạn đường ngắn nhất là số nguyên dương mà người đó có thể đi là bao nhiêu? (ảnh 2)

Ta đặt \(EM = x\), khi đó ta được: \(MF = 492 - x;\,AM = \sqrt {{x^2} + {{118}^2}} \,;\,BM = \sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} {\rm{.}}\)

Như vậy ta có hàm số \(f\left( x \right)\) được xác định bằng tổng quãng đường \(AM\) và \(MB\):

Xét hàm \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} + {{118}^2}} + \sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} {\rm{\;}}\) với\(x \in \left[ {0;492} \right]\)

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm \(M\).

Đạo hàm: \[f'\left( x \right) = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} - \frac{{492 - x}}{{\sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} }}{\rm{ = 0}}\]

\( \Leftrightarrow \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} }} = \frac{{492 - x}}{{\sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} }} \Leftrightarrow x\sqrt {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} = \left( {492 - x} \right)\sqrt {{x^2} + {{118}^2}} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}\left[ {{{\left( {492 - x} \right)}^2} + {{487}^2}} \right] = {{\left( {492 - x} \right)}^2}\left( {{x^2} + {{118}^2}} \right)}\\{0 \le x \le 492}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {487x} \right)}^2} = {{\left( {58056 - 118x} \right)}^2}}\\{0 \le x \le 492}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{58056}}{{605}}{\rm{\;hay\;}}x = - \frac{{58056}}{{369}} \Leftrightarrow x = \frac{{58056}}{{605}}}\\{0 \le x \le 492}\end{array}} \right.\)

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;492} \right]\).

So sánh các giá trị của \(f\left( 0 \right)\,;\,f\left( {\frac{{58056}}{{605}}} \right)\,;\,f\left( {492} \right)\) ta có giá trị nhỏ nhất \(f\left( {\frac{{58056}}{{605}}} \right) \approx 779,8{\rm{\;m}}\)

Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ \(779,8{\rm{\;}} \approx {\rm{780m}}\).

Đáp án: 780.

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là