1) Ta có: \(BC = 2.61 = 122\,({\rm{m}})\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) ta có

\(A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {122^2} - {22^2} = \left( {122 + 22} \right)\left( {122 - 22} \right) = 144 \cdot 100 = 14\,\,400\)

Do đó \(AB = \sqrt {14400} = 120\,({\rm{m}})\).

2)

Một chiếc xuồng máy qua sông từ vị trí B hướng tới vị trí A. Tuy nhiên do nước chảy nên (ảnh 2)

a) Theo giả thiết, \(P,N\) lần lượt là điểm đối xứng của \(M\) và \(A\) qua \(I\) nên \(I\) là trung điểm của \(AN,\,MP\)

Suy ra tứ giác \(AMNP\) là hình bình hành (dhnb).

Do \(MP \bot AN\) nên \(AMNP\) là hình thoi.

Xét tam giác \(AIM\) có \(\widehat {AIM} = 90^\circ \), \(\widehat {IAM} = 45^\circ \) (do \(ABCD\) là hình vuông)

Nên \(\Delta AIM\) vuông cân tại \(I\) nên \(AI = IM\). Do đó \(AN = MP\).

Hình thoi \(AMNP\) có \(AN = MP\) nên \(AMNP\) là hình vuông.

b) Xét \(\Delta APD\) và \(\Delta AMD\), ta có:

\(AD\) là cạnh chung;

\(\widehat {PAD} = \widehat {MAD}\,\,\,\left( {\widehat {PAD} = \widehat {PAN} = 45^\circ = \widehat {MAN} = \widehat {MAD}} \right);\)

\(AP = AM\) (do \(AMNP\) là hình vuông).

Vậy \(\Delta APD = \Delta AMD\) (c.g.c)

Suy ra \(PD = MD\) (3)

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ADM\), ta có:

\(AM\) là cạnh chung;

\(\widehat {BAM} = \widehat {DAM}\,\,\,\left( {\widehat {BAM} = \widehat {BAC} = 45^\circ = \widehat {DAC} = \widehat {DAM}} \right);\)

\(AB = AD\) (do \(ABCD\) là hình vuông).

Vậy \(\Delta ABM = \Delta ADM\) (c.g.c).

Suy ra \(BM = MD\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(BM = PD.\)

c)

Một chiếc xuồng máy qua sông từ vị trí B hướng tới vị trí A. Tuy nhiên do nước chảy nên (ảnh 3)

Xét tứ giác \(APQM\), ta có: \(\widehat {MQP} = 360 - \widehat {MAP} - \widehat {APQ} - \widehat {AMQ}\)

Mà\(\widehat {APQ} = \widehat {AMD} = \widehat {AMB}\)

Nên \(\widehat {MQP} = 360^\circ - 90^\circ - \left( {\widehat {AMB} + \widehat {AMQ}} \right) = 360^\circ - 90^\circ - 180^\circ = 90^\circ \).

Ta có \(I\) là giao 2 đường chéo hình vuông \(AMNP\), \(O\) là giao điểm của 2 đường chéo hình vuông \(ABCD\).

Ta có: \(IQ = \frac{1}{2}PM = \frac{1}{2}AN\) nên \(\widehat {AQN} = 90^\circ ,\,\,OQ = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AC.\)

Do đó \(\widehat {AQC} = 90^\circ \).

Vậy \(\widehat {AQN} + \widehat {AQC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) nên \(C,Q,N\) thẳng hàng.

Giá trị của biểu thức x^3 - 3x^2 + 3x - 1 tại x = 101 bằng: