Giá trị của biểu thức ln ( m + M ) bằng

12/22

Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}$ trên nửa khoảng $\left[ {1;\,{e^2}} \right)$ lần lượt là $m$ và $M$. Giá trị của biểu thức $\ln \left( {m + M} \right)$bằng

\[1\].

\[ - 1\].

\[e\].

${e^{ - 1}}$.

Giải thích

Ta có: $f'\left( x \right) = \frac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}$.

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = e$.

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng $\left[ {1;\,{e^2}} \right)$:

$Gọi giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}$ trên nửa khoảng \(\left[ {1;\,{e^2} (ảnh 1)$

Vậy $m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;{e^2}} \right)} f\left( x \right) = 0;\,M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;{e^2}} \right)} f\left( x \right) = \frac{1}{e}$.

$ \Rightarrow \ln \left( {m + M} \right) = \ln \frac{1}{e} = - 1$.