$3. Đúng. Theo câu 1, \(SH = \sqrt 3 \). (ảnh 1)$

1. Sai. Ta có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}} = \frac{1}{2} \cdot {4^2} = 8\).

Ta có \(BH = \frac{3}{4}BA = 3\). Xét \(\Delta SHB\) vuông tại \(H\), có \(SH = BH \cdot \tan \widehat {SBH} = 3 \cdot \tan 30^\circ = \sqrt 3 \).

Khi đó \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3} \cdot SH \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt 3 \cdot 8 = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}\).

2. Đúng. Có \(AB//CD\) nên \(AB//\left( {SCD} \right)\).

Khi đó \(d\left( {AB,SD} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right)\).

Kẻ \(HJ \bot CD,HI \bot SJ\).

Dễ dàng chứng minh \(HI \bot \left( {SCD} \right)\). Khi đó \(d\left( {H,\left( {SCD} \right)} \right) = HI\).

Xét \(\Delta SHJ\) vuông tại \(H\), có \(HI \bot SJ\), ta có \(\frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{J^2}}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{{16}} = \frac{{48}}{{19}} \Rightarrow HI = \frac{{4\sqrt {57} }}{{19}}\).

3. Đúng. Theo câu 1, \(SH = \sqrt 3 \).

4. Đúng.

$3. Đúng. Theo câu 1, \(SH = \sqrt 3 \). (ảnh 2)$

Kẻ \(EM//BC\). Khi đó \(EM \bot AB\) mà \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot ME\).

Do đó \(EM \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow EM \bot SM\).

Ta có \(\left( {SE,BC} \right) = \left( {SE,EM} \right) = \widehat {SEM}\).

Dễ dàng chứng minh được \(HC \bot BK\) tại \(E\).

Có \(EM//BC\) nên \(\frac{{HE}}{{HC}} = \frac{{ME}}{{BC}}\).

Xét \(\Delta BHC\) vuông tại \(B\), có \(BE\) là đường cao nên \(B{H^2} = HE \cdot HC\), \(H{C^2} = B{H^2} + B{C^2}\).

Ta có \(\frac{{ME}}{{BC}} = \frac{{HE}}{{HC}} = \frac{{HE \cdot HC}}{{H{C^2}}} = \frac{{B{H^2}}}{{H{C^2}}} = \frac{{B{H^2}}}{{B{H^2} + B{C^2}}} = \frac{{{3^2}}}{{{3^2} + {4^2}}} = \frac{9}{{25}}\).

Suy ra \(ME = \frac{9}{{25}} \cdot BC = \frac{9}{{25}} \cdot 4 = \frac{{36}}{{25}}\); \(HE = \frac{9}{{25}}HC = \frac{9}{{25}} \cdot \sqrt {{3^2} + {4^2}} = \frac{9}{5}\).

Xét \(\Delta SHE\) vuông tại H, có \(SE = \sqrt {S{H^2} + H{E^2}} = \sqrt {3 + {{\left( {\frac{9}{5}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt {39} }}{5}\).

Xét \(\Delta SHE\) vuông tại \(H\) có \(\cos \widehat {SEM} = \frac{{ME}}{{SE}} = \frac{{36}}{{25}}:\frac{{2\sqrt {39} }}{5} = \frac{{18}}{{5\sqrt {39} }}\).

Suy ra \(m = 18;n = 5\). Vậy \(2m - n = 2 \cdot 18 - 5 = 31\). Chọn 2, 3, 4.

Giá trị của a là