Giả sử x_1; x_2 là hai nghiệm của phương trình x^2 - 5x - 1 = 0. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:(a) A = x_1^2 + x_2^2 - x_1 - x_2

Ta có: \[{\left( { - 5} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right) = 29 > 0\].

Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Viète, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}{x_2} = - 1\end{array} \right.\].

a) Ta có: \[A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1} - {x_2}\]

\[A = x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - {x_1} - {x_2} + 2{x_1}{x_2}\]

\[A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2{x_1}{x_2}\]

\[A = {5^2} - 5 + 2.\left( { - 1} \right) = 18\].

b) Ta có: \[B = x_1^4 + x_2^4\]

\[B = x_1^4 + x_2^4 + 2x_1^2x_2^2 - 2x_1^2x_2^2\]

\[B = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2x_2^2\]

\[B = {\left( {x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2}} \right)^2} - 2x_1^2x_2^2\]

\[B = {\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2x_1^2x_2^2\]

\[B = {\left[ {{5^2} - 2.\left( { - 1} \right)} \right]^2} - 2.{\left( { - 1} \right)^2} = 727\].

c) \[C = \frac{1}{{x_1^3}} + \frac{1}{{x_2^3}} = \frac{{x_1^3 + x_2^3}}{{x_1^3x_2^3}}\]

\[ = \frac{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)}}{{{{\left( { - 1} \right)}^3}}} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)\]

\[ = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right] = 5\left[ {{5^2} - 3.\left( { - 1} \right)} \right] = 140\].

d) \[D = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\]

Suy ra \[{D^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = {5^2} - 4.\left( { - 1} \right) = 29\].

Do đó, \[D = \sqrt {{D^2}} = \sqrt {29} \].