Giả sử trong một nhóm người có 2 người nhiễm bệnh, 58 người còn lại là không nhiễm bệnh. Để phát hiện ra người nhiễm bệnh, người ta tiến hành xét nghiệm

a) Xét hai biến cố:

A: "Người được chọn ra không nhiễm bệnh";

B: “Người được chọn ra có phản ứng dương tính".

Vì trong một nhóm người có 2 người nhiễm bệnh, 58 người còn lại là không nhiễm bệnh nên \({\rm{P}}({\rm{A}}) = \frac{{58}}{{2 + 58}} = \frac{{29}}{{30}}\) và \({\rm{P}}(\bar A) = \frac{1}{{30}}\).

Do đối với người không nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có phản ứng dương tính là \(7\% \) nên \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid {\rm{A}}) = 7\%  = 0,07\).

Vi đối với người nhiễm bệnh thì xác suất xét nghiệm có kết quả dương tính là \(85\% \) nên \({\rm{P}}({\rm{B}}\mid \bar A) = 85\%  = 0,85\).

Sơ đồ hình cây biểu thị tình huống đã cho như sau:

b) Ta thấy xác suất nhiễm bệnh của \(X\) khi \(X\) là một người trong nhóm bị xét nghiệm có kết quả dương tính chính là \({\rm{P}}(\bar A\mid B)\). Áp dụng công thức Bayes, ta có:

\({\rm{P}}(\bar A\mid {\rm{B}}) = \frac{{P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A)}}{{P(\bar A) \cdot P(B\mid \bar A) + P(A) \cdot P(B\mid A)}} = \frac{{\frac{1}{{30}} \cdot 0,85}}{{\frac{1}{{30}} \cdot 0,85 + \frac{{29}}{{30}} \cdot 0,07}} = \frac{{85}}{{288}} \approx 0,295.\)

Vậy xác suất để X là người nhiễm bệnh là 0,295 .