Giả sử lò xo có đường kính D cố định. Hỏi
17/17
Một lò xo được làm từ một sợi dây kim loại. Gọi d là đường kính (trung bình) của sợi dây kim loại và D là đường kính (trung bình) của lò xo (Hình 7). Khi lò xo để thẳng đứng trên mặt đất thì nó bị nén lại bởi trọng lượng P của lò xo, vật chất trong dây kim loại chịu ứng suất lớn nhất S tại các điểm trên bề mặt sợi dây mà khoảng cách từ những điểm đó đến đường tâm của lò xo là nhỏ nhất.
Biết rằng S được cho bởi công thức:
(Nguồn: John W. Cell, Engineering Problems Illustrating Mathematics,
McGraw-Hill Book Company, Inc. New York and London, 1943).
Giả sử lò xo có đường kính D cố định. Hỏi ta phải chọn loại dây kim loại với đường kính d bằng bao nhiêu để ứng xuất S là nhỏ nhất?
Với d > 0 ta có:
Đặt 
ta có hàm số:
Ta có 
Do đó S’(a) = 0 ⇔ 12a4 – 13,08a3 – 6,84a2 + 4,92a = 0
⇔ a ≈ 1,285 hoặc a ≈ 0,476 (do a > 0).
Bảng biến thiên của hàm số:
a | 0 |
| 0,476 |
| 1,285 |
| +∞ |
S’(a) |
| + | 0 | – | 0 | + |
|
S(a) |
0 |
|
|
| S(1,285) |
| +∞
|
Căn cứ bảng biến thiên, ta có 
tại a ≈ 1,285 hay 
suy ra 
Vậy ta phải chọn loại dây kim loại với đường kính 
để ứng xuất S là nhỏ nhất.